Докажите, что ABCD — параллелограмм: диагонали AC и DB пересекаются в точке O, DO = OB, а отмеченные углы BAC и DCA равны.

Так как \(\angle BAC = \angle DCA\), а AC является секущей, то

\(AB \parallel CD\).

Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1. \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы.
2. \(\angle ABO = \angle CDO\), так как \(AB \parallel CD\), а DB — секущая.
3. По условию \(OB = OD\).

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому

\(AO = OC\).

Значит, диагонали AC и DB делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.