12. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть углы при основании равны α. Проведем биссектрисы углов A и C. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, а биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке E.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = α.

AD и CE - биссектрисы углов A и C соответственно. Следовательно, ∠DAC = ∠ECA = α/2.

Рассмотрим треугольники ADC и CEA. У них сторона AC общая, ∠DAC = ∠ECA = α/2, и ∠BCA = ∠BAC = α. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) треугольники ADC и CEA равны.

Так как треугольники ADC и CEA равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, AD = CE.

Таким образом, биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Ответ: Доказано.