4. Докажите, что биссектрисы двух: а) накрест лежащих; б) соответ- ственных углов при параллельных прямых и секущей тоже параллельны.

а) Докажем, что биссектрисы двух накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей параллельны.

Пусть даны параллельные прямые a и b, и секущая c. Рассмотрим два накрест лежащих угла, образованных при пересечении прямых a, b и c. Обозначим эти углы как ∠1 и ∠2. Так как a || b, то ∠1 = ∠2. Пусть биссектрисы углов ∠1 и ∠2 – прямые l1 и l2 соответственно. Биссектриса делит угол пополам, следовательно, ∠(1/2) = ∠1 / 2 и ∠(2/2) = ∠2 / 2. Поскольку ∠1 = ∠2, то ∠(1/2) = ∠(2/2). Так как ∠(1/2) и ∠(2/2) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых l1 и l2 секущей c, и эти углы равны, то прямые l1 и l2 параллельны.

б) Докажем, что биссектрисы двух соответственных углов при параллельных прямых и секущей параллельны.

Пусть даны параллельные прямые a и b, и секущая c. Рассмотрим два соответственных угла, образованных при пересечении прямых a, b и c. Обозначим эти углы как ∠3 и ∠4. Так как a || b, то ∠3 = ∠4. Пусть биссектрисы углов ∠3 и ∠4 – прямые m1 и m2 соответственно. Биссектриса делит угол пополам, следовательно, ∠(3/2) = ∠3 / 2 и ∠(4/2) = ∠4 / 2. Поскольку ∠3 = ∠4, то ∠(3/2) = ∠(4/2). Так как ∠(3/2) и ∠(4/2) являются соответственными углами при пересечении прямых m1 и m2 секущей c, и эти углы равны, то прямые m1 и m2 параллельны.

Ответ: Доказано.