253. Докажите, что четырехугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(-2; 1), B(2; 5), C(5; 2), D(1; -2)\) является прямоугольником.

**Решение:**
Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны (то есть это параллелограмм) и что хотя бы один из углов прямой.

**1. Найдем координаты векторов сторон четырехугольника:**

\(\vec{AB} = (2 - (-2); 5 - 1) = (4; 4)\)
\(\vec{BC} = (5 - 2; 2 - 5) = (3; -3)\)
\(\vec{CD} = (1 - 5; -2 - 2) = (-4; -4)\)
\(\vec{DA} = (-2 - 1; 1 - (-2)) = (-3; 3)\)

**2. Проверим параллельность противоположных сторон:**

\(\vec{AB} = -1 \cdot \vec{CD}\) значит \(\vec{AB}\) || \(\vec{CD}\)
\(\vec{BC} = -1 \cdot \vec{DA}\) значит \(\vec{BC}\) || \(\vec{DA}\)

Таким образом, \(ABCD\) - параллелограмм.

**3. Проверим, является ли хотя бы один угол прямым (скалярное произведение соседних векторов должно быть равно 0):**

\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (4)(3) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0\)

Так как \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\), угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) прямой.

**Вывод:**
Четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом, и один из его углов прямой. Следовательно, \(ABCD\) является прямоугольником.