244. Медианы \(BM\) и \(CD\) правильного треугольника \(ABC\) со стороной 8 см пересекаются в точке \(O\). Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\); 2) \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\); 3) \(\vec{BM}\) и \(\vec{AC}\); 4) \(\vec{OM}\) и \(\vec{OC}\); 5) \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\); 6) \(\vec{OB}\) и \(\vec{OM}\).

**Решение:**

Так как \(ABC\) - правильный треугольник, все его стороны равны 8 см, и все углы равны 60°. Медианы в правильном треугольнике также являются высотами и биссектрисами.

1) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 8 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32\)

2) \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) = 64 \cdot (-\frac{1}{2}) = -32\). Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равен 120°, поскольку это внешний угол треугольника при вершине B.

3) Чтобы найти \(\vec{BM} \cdot \vec{AC}\), нужно найти длину медианы \(BM\). Так как \(BM\) является высотой, то \(BM = AB \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
Угол между \(BM\) и \(AC\) равен 90°, поэтому \(\vec{BM} \cdot \vec{AC} = 4\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ) = 0\)

4) \(\vec{OM} \cdot \vec{OC}\). Точка \(O\) - точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины. Следовательно, \(OC = \frac{2}{3}CD\) и \(OM = \frac{1}{3}BM\).
\(CD = BM = 4\sqrt{3}\), поэтому \(OC = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) и \(OM = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\).
Угол между \(OM\) и \(OC\) равен 180°, поэтому \(\vec{OM} \cdot \vec{OC} = |\vec{OM}| \cdot |\vec{OC}| \cdot \cos(180^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot (-1) = -\frac{32}{3}\).

5) \(\vec{CD} \cdot \vec{OM}\). \(|\vec{CD}| = 4\sqrt{3}\) и \(|\vec{OM}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}\). Угол между \(CD\) и \(OM\) равен 0°, поэтому \(\vec{CD} \cdot \vec{OM} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos(0^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{16 \cdot 3}{3} = 16\).

6) \(\vec{OB} \cdot \vec{OM}\). \(|\vec{OB}| = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) и \(|\vec{OM}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}\). Угол между \(OB\) и \(OM\) равен 180°, поэтому \(\vec{OB} \cdot \vec{OM} = |\vec{OB}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos(180^\circ) = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot (-1) = -\frac{32}{3}\).

**Ответы:**
1) 32
2) -32
3) 0
4) \(-\frac{32}{3}\)
5) 16
6) \(-\frac{32}{3}\)