Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (−3; 6), B (1; 10), C (4; 7) и D (0; 3) является прямоугольником.

Найдём координаты сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(1-(-3);10-6)=(4;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(4-1;7-10)=(3;-3)\).

\(\overrightarrow{CD}=(0-4;3-7)=(-4;-4)=-\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{DA}=(-3-0;6-3)=(-3;3)=-\overrightarrow{BC}\). Значит, противоположные стороны попарно параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.

Проверим угол между соседними сторонами: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot3+4\cdot(-3)=12-12=0\). Следовательно, стороны AB и BC перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Доказано: ABCD — прямоугольник.