6. Докажите, что число 171⁵³⁶ + 375¹⁶⁴ + 4 делится на 5.

Решение: Чтобы доказать, что число 171⁵³⁶ + 375¹⁶⁴ + 4 делится на 5, достаточно рассмотреть остатки от деления каждого слагаемого на 5. 171 ≡ 1 (mod 5), следовательно, 171⁵³⁶ ≡ 1⁵³⁶ ≡ 1 (mod 5) 375 ≡ 0 (mod 5), следовательно, 375¹⁶⁴ ≡ 0¹⁶⁴ ≡ 0 (mod 5) 4 ≡ 4 (mod 5) Таким образом, 171⁵³⁶ + 375¹⁶⁴ + 4 ≡ 1 + 0 + 4 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5). Так как остаток от деления суммы на 5 равен 0, то число 171⁵³⁶ + 375¹⁶⁴ + 4 делится на 5. Доказано.