12. Докажите, что диагонали квадрата разбивают его на четыре равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Доказательство:

1. Квадрат ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = OC = BO = OD, и углы между диагоналями прямые (∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°).
3. Рассмотрим треугольник AOB. Так как AO = BO, то треугольник AOB равнобедренный. Угол ∠AOB = 90°, значит, треугольник AOB прямоугольный.
4. Аналогично, треугольники BOC, COD и DOA также равнобедренные и прямоугольные.
5. Все четыре треугольника имеют равные стороны (AO = OC = BO = OD) и прямой угол, следовательно, они равны по двум сторонам (катетам).
6. Таким образом, диагонали квадрата разбивают его на четыре равных равнобедренных прямоугольных треугольника, что и требовалось доказать.