2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

1. Рассмотрим ромб ABCD, где AC и BD - диагонали.
2. Так как ромб является параллелограммом, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC и BO = OD.
3. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, AB = BC = CD = DA.
4. Рассмотрим треугольники AOB и AOD. У них AO - общая сторона, AB = AD (стороны ромба), BO = OD (диагонали делятся пополам). Следовательно, треугольники AOB и AOD равны по трем сторонам (SSS).
5. Из равенства треугольников следует, что углы AOB и AOD равны. Так как эти углы смежные, то угол AOB = углу AOD = 90 градусов. Значит, диагонали ромба перпендикулярны.
6. Рассмотрим треугольники AOB и COB. У них BO - общая сторона, AB = BC (стороны ромба), AO = OC (диагонали делятся пополам). Следовательно, треугольники AOB и COB равны по трем сторонам (SSS).
7. Из равенства треугольников следует, что углы ABO и CBO равны. Значит, диагональ BD делит угол ABC пополам. Аналогично доказывается, что диагональ AC делит угол BCD пополам.
8. Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ответ: Доказано, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.