Доказательство свойств диагоналей ромба

Пусть ABCD – ромб. Докажем, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

Рассмотрим треугольники ABO и CBO, где O – точка пересечения диагоналей. У них BO – общая сторона, AB = BC как стороны ромба, и AO = OC, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольники ABO и CBO равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство углов ABO и CBO, а значит, BO – биссектриса угла ABC.

Аналогично можно доказать, что диагонали ромба делят пополам и другие его углы.

Так как треугольники ABO и CBO равны, то углы AOB и COB равны. Так как они смежные, то каждый из них равен 90°, а значит, диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.