Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Дано: Параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC = BD.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и DCB.
2. Сторона BC — общая.
3. AB = DC (противоположные стороны параллелограмма равны).
4. AC = DB (по условию).
5. Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы BAC и CDB равны.
7. Рассмотрим треугольники ABD и DCA.
8. Сторона AD — общая.
9. AB = DC (противоположные стороны параллелограмма равны).
10. BD = AC (по условию).
11. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
12. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы ABC и DCB равны.
13. Так как ABCD — параллелограмм, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, ∠ABC + ∠DCB = 180°.
14. Поскольку ∠ABC = ∠DCB, то 2∠ABC = 180°, откуда ∠ABC = 90°.
15. Аналогично, ∠DCB = 90°, ∠CDA = 90°, ∠DAB = 90°.

Вывод: Так как все углы параллелограмма прямые, то он является прямоугольником.