Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Пусть ABCD - параллелограмм, диагонали AC и BD которого равны. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них сторона BC - общая, AC = DB (по условию), а стороны AB и DC равны (как противоположные стороны параллелограмма). Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что углы ABC и DCB равны. Так как ABCD - параллелограмм, то углы ABC и DCB являются односторонними углами при параллельных прямых AB и DC и секущей BC. Значит, их сумма равна 180 градусов: $$ \angle ABC + \angle DCB = 180^\circ $$. Так как углы ABC и DCB равны, то $$ \angle ABC = \angle DCB = 90^\circ $$. Следовательно, ABCD - прямоугольник, так как один из его углов прямой.