3*. Докажите, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух его других сторон.

Пусть $$a, b, c$$ - стороны треугольника. Нужно доказать, что $$a < b + c$$, $$b < a + c$$ и $$c < a + b$$. Это и есть неравенство треугольника. Оно утверждает, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Доказательство: Предположим, что $$a \ge b+c$$. Тогда точки $$B$$ и $$C$$ лежат на отрезке $$AD$$, поэтому $$BC = AB + AC$$. Значит, отрезки $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ лежат на одной прямой, и треугольник не может существовать, чего не может быть. Следовательно, $$a < b+c$$. Аналогично доказывается для $$b < a + c$$ и $$c < a + b$$.