Докажите, что если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.

Пусть из точки Р проведены секущие РАС и PBD, пересекающие окружность в точках А, С и В, D соответственно.
Рассматриваем треугольники РАВ и PCD. Угол Р общий. Углы РВА и PDC равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
Следовательно, треугольники РАВ и PCD подобны по двум углам.
Из подобия следует: $$\frac{PA}{PD} = \frac{PB}{PC} PA \cdot PC = PB \cdot PD$$.
Доказано.