Из точки О, лежащей вне окружности проведены лучи ОС и ОЕ, пресекающие окружность в точках В, С и D, Е соответственно, начиная от точки О. Найти длину отрезка ОВ и ОС, если OD = 2, ОЕ = 4, длина отрезка ВС на 15 больше длины отрезка ОВ.

По теореме о секущих, исходящих из одной точки: $$OB \cdot OC = OD \cdot OE$$.
Пусть $$OB = x$$, тогда $$OC = OB + BC = x + 15$$.
$$x(x + 15) = 2 4 = 8$$.
$$x^2 + 15x - 8 = 0$$.
Решая квадратное уравнение, получаем $$x = \frac{-15 + \sqrt{225 + 32}}{2} = \frac{-15 + \sqrt{257}}{2}$$.
$$OB = \frac{-15 + \sqrt{257}}{2}$$, $$OC = OB + 15 = \frac{-15 + \sqrt{257}}{2} + 15 = \frac{15 + \sqrt{257}}{2}$$.
Ответ: $$OB = \frac{-15 + \sqrt{257}}{2}$$, $$OC = \frac{15 + \sqrt{257}}{2}$$.