Докажите, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Пусть дан треугольник ABC, в котором медиана BM равна половине стороны AC, то есть BM = AC/2. Нужно доказать, что треугольник ABC прямоугольный, то есть один из его углов равен 90°.

1. Так как BM - медиана, то AM = MC. И по условию BM = AC/2, следовательно, BM = AM = MC.

2. Рассмотрим треугольник ABM. Так как AM = BM, то треугольник ABM - равнобедренный. Значит, углы при основании равны: ∠BAM = ∠ABM. Обозначим эти углы как α.

3. Рассмотрим треугольник BMC. Так как BM = MC, то треугольник BMC - равнобедренный. Значит, углы при основании равны: ∠MBC = ∠BCM. Обозначим эти углы как β.

4. Теперь рассмотрим весь треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°$$

$$α + (α + β) + β = 180°$$

$$2α + 2β = 180°$$

$$2(α + β) = 180°$$

$$α + β = 90°$$

5. Угол ABC равен α + β, а мы только что показали, что α + β = 90°. Следовательно, ∠ABC = 90°.

Вывод: Так как угол ABC равен 90°, то треугольник ABC - прямоугольный.