Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Четырехугольник называется ромбом, если все его стороны равны. Доказательство: Пусть ABCD - ромб. Так как все стороны ромба равны, то AB = BC = CD = DA. Диагонали ромба пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOB и COB. У них сторона BO - общая, AB = CB (как стороны ромба), AO = CO (диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, треугольники AOB и COB равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что углы AOB и COB равны. Так как эти углы смежные, то каждый из них равен 90 градусов. Значит, диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них сторона BD - общая, AB = CB (как стороны ромба), AD = CD (как стороны ромба). Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что углы ABD и CBD равны, а это значит, что диагональ BD делит угол B пополам. Аналогично доказывается, что диагональ BD делит угол D пополам, а диагональ AC делит углы A и C пополам.