6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он рав-нобедренный.

Пусть дан треугольник ABC, в котором ∠A = ∠B. Докажем, что треугольник ABC равнобедренный, т.е. AC = BC.

Доказательство:

1. Проведем биссектрису CD угла C.
2. Рассмотрим треугольники ACD и BCD. В них:
3. ∠A = ∠B (по условию).
4. ∠ACD = ∠BCD (CD - биссектриса).
5. CD - общая сторона.

Однако, для доказательства равенства треугольников нам нужно, чтобы сторона CD была прилежащей к двум углам, а она противолежащая. Поэтому докажем другим способом.

1. Предположим, что AC ≠ BC.
2. Отложим на большей стороне, например, AC, отрезок AD = BC.
3. Соединим точки B и D.
4. Рассмотрим треугольники ABD и BAC. В них:
5. AD = BC (по построению).
6. ∠A = ∠B (по условию).
7. AB - общая сторона.
8. Тогда треугольники ABD и BAC равны по двум сторонам и углу между ними.
9. Из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠BCA.
10. Но ∠ADB является внешним углом треугольника BDC и, следовательно, ∠ADB > ∠DBC.
11. Однако, ∠ADB = ∠BCA = ∠ABC, что противоречит неравенству ∠ADB > ∠DBC.

Следовательно, наше предположение о том, что AC ≠ BC, неверно. Значит, AC = BC, и треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство приведено выше.