1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие ак-сиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?

Первый признак равенства треугольников гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

1. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, а сторона AB наложилась на сторону A₁B₁.

2. Так как AB = A₁B₁, то вершина B совпадает с вершиной B₁.

3. Так как ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, то сторона AC наложится на сторону A₁C₁.

4. Так как AC = A₁C₁, то вершина C совпадает с вершиной C₁.

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совпадают, а значит, они равны.

Аксиомы, используемые при доказательстве теоремы 3.1:

Теорема 3.1 (аксиома равенства треугольников):

1. Отрезок имеет определенную длину.
2. Угол имеет определенную градусную меру.
3. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
4. Любой отрезок можно отложить на данной прямой от данной точки, и притом только один раз.
5. Любой угол можно отложить от данной полупрямой в данном направлении, и притом только один раз.

Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. При доказательстве используются аксиомы равенства треугольников.