11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, про-ведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и медиана BD проведена к основанию AC. Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой.

Доказательство:

1. Так как BD - медиана, то AD = DC.
2. Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
3. AB = BC (по условию, так как треугольник ABC равнобедренный).
4. AD = DC (по условию, так как BD - медиана).
5. BD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

• ∠ABD = ∠CBD. Это означает, что BD - биссектриса угла ABC.
• ∠ADB = ∠CDB. Так как ∠ADB + ∠CDB = 180° (смежные углы), то ∠ADB = ∠CDB = 90°. Это означает, что BD - высота треугольника ABC.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой.

Ответ: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Доказательство приведено выше.