Контрольные задания > 1001 Докажите, что если векторы а и b не колли- неарны, то: а) векторы а+в и а-б не коллинеарны; кторы 2а-ви а + б не коллинеарны;
Вопрос:

1001 Докажите, что если векторы а и b не колли- неарны, то: а) векторы а+в и а-б не коллинеарны; кторы 2а-ви а + б не коллинеарны;

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

  • a) Докажем от противного. Пусть векторы $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ и $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ коллинеарны. Тогда существует такое число k, что $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$.
    Преобразуем: $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$$
    $$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{a} = -k\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}$$
    $$\overrightarrow{a}(1-k) = -\overrightarrow{b}(k+1)$$
    $$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\frac{-(k+1)}{(1-k)}$$
    То есть $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ и $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ неколлинеарны.
    Ответ: векторы $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ и $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ неколлинеарны.
  • б) Докажем от противного. Пусть векторы $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ и $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ коллинеарны. Тогда существует такое число k, что $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$.
    Преобразуем: $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$$
    $$2\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}$$
    $$\overrightarrow{a}(2-k) = \overrightarrow{b}(k+1)$$
    $$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\frac{(k+1)}{(2-k)}$$
    То есть $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ и $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ неколлинеарны.
    Ответ: векторы $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ и $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ неколлинеарны.
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие