*406. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Доказательство:

1. Пусть дана фигура F, имеющая центр симметрии O.
2. Возьмем произвольную точку A на границе фигуры F.
3. Проведем прямую l через точку O.
4. Отложим на прямой l отрезок OA' = OA, где A' – точка, симметричная точке A относительно точки O.
5. Точка A' также принадлежит фигуре F, так как O – центр симметрии.
6. Тогда фигура F состоит из пар симметричных точек относительно точки O.
7. Рассмотрим прямую l, проходящую через центр симметрии O. Эта прямая разбивает фигуру F на две части: F1 и F2.
8. Для каждой точки в F1 есть симметричная ей точка в F2, и наоборот.
9. Следовательно, фигура F1 симметрична фигуре F2 относительно точки O.
10. Площадь F1 равна площади F2, так как они симметричны относительно точки O.
11. Значит, прямая l делит фигуру F на две равные части.

Ответ: любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части, что и требовалось доказать.