*405. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольник ABCD с центром симметрии O.
2. Проведем произвольную прямую l, проходящую через точку O.
3. Прямая l пересекает стороны прямоугольника в точках E и F.
4. Докажем, что прямая l делит прямоугольник на две равные по площади части.
5. Рассмотрим треугольники AOE и COF. У них:
6. AO = CO (O - центр симметрии)
7. ∠AOE = ∠COF (вертикальные углы)
8. ∠EAO = ∠FCO (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC)
9. Следовательно, треугольники AOE и COF равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).
10. Из равенства треугольников следует, что S_AOE = S_COF.
11. Аналогично доказывается равенство треугольников BOF и DOE, то есть S_BOF = S_DOE.
12. Площадь четырехугольника ABEF равна S_ABEF = S_AOE + S_ABOE.
13. Площадь четырехугольника CDEF равна S_CDEF = S_COF + S_CDOF.
14. Так как S_AOE = S_COF и S_BOF = S_DOE, то S_ABEF = S_CDFE, следовательно, прямая l делит прямоугольник ABCD на две равные по площади части.

Ответ: любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его на две равные части, что и требовалось доказать.