Докажите, что при любом натуральном n (40—42): в) n³ + 5n кратно 3; г) n(n + 1)(2n + 1) кратно 6.

в)

1. При делении на 3 куб числа имеет тот же остаток, что и само число: \(n^3\equiv n\pmod 3\).

2. Так как \(5\equiv 2\pmod 3\), получаем \(n^3+5n\equiv n+2n=3n\equiv 0\pmod 3\).

Значит, \(n^3+5n\) кратно 3.

г)

1. Числа \(n\) и \(n+1\) — соседние целые числа, поэтому одно из них чётное. Следовательно, произведение \(n(n+1)(2n+1)\) делится на 2.

2. Проверим делимость на 3. Если \(n\equiv 0\pmod 3\), на 3 делится множитель \(n\). Если \(n\equiv 2\pmod 3\), на 3 делится \(n+1\). Если \(n\equiv 1\pmod 3\), то \(2n+1\equiv 0\pmod 3\).

3. Таким образом, произведение делится и на 2, и на 3. Поскольку 2 и 3 взаимно просты, оно делится на 6.

Что и требовалось доказать.