6. Докажите, что при любом натуральном п значение выраже- 3 ния п³ - п делится на 6.

Ответ: Доказано

Разложим выражение n³ - n на множители:

n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1)

Это произведение трех последовательных чисел.

Среди трех последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное (делится на 2) и одно число, кратное 3 (делится на 3).

Значит, произведение n(n - 1)(n + 1) делится и на 2, и на 3.

Если число делится и на 2, и на 3, то оно делится на 6.

Следовательно, n³ - n делится на 6 при любом натуральном n.

Ответ: Доказано