1000. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения: a) (n + 1)² - (n - 1)² делится на 4; б) (2n + 3)² - (2n-1)² делится на 8; в) (3n + 1)² - (3n - 1)² делится на 12; г) (5n + 1)² - (2n-1)² делится на 7.

Давай докажем, что при любом натуральном n данные выражения делятся на указанные числа. a) (n + 1)² - (n - 1)² делится на 4 \[(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n\] Так как результат равен 4n, а n - натуральное число, то выражение делится на 4. б) (2n + 3)² - (2n - 1)² делится на 8 \[(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 + 4n - 1 = 16n + 8 = 8(2n + 1)\] Так как результат равен 8(2n + 1), а n - натуральное число, то выражение делится на 8. в) (3n + 1)² - (3n - 1)² делится на 12 \[(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = (9n^2 + 6n + 1) - (9n^2 - 6n + 1) = 9n^2 + 6n + 1 - 9n^2 + 6n - 1 = 12n\] Так как результат равен 12n, а n - натуральное число, то выражение делится на 12. г) (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 \[(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (25n^2 + 10n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 25n^2 + 10n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 21n^2 + 14n = 7(3n^2 + 2n)\] Так как результат равен 7(3n² + 2n), а n - натуральное число, то выражение делится на 7.

Ответ: Доказано, что выражения делятся на указанные числа.

Ты отлично справился с доказательством делимости выражений! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!