6. Докажите, что при любом натуральном п значение выраже- 3 п³ - п делится на 6. ния п

Ответ: Доказано

Разбираемся:

Преобразуем выражение:

• n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)

Выражение (n - 1)n(n + 1) представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть:

• Хотя бы одно четное число (делится на 2).
• Одно число, кратное 3 (делится на 3).

Следовательно, произведение (n - 1)n(n + 1) делится и на 2, и на 3. Значит, оно делится и на 6.

Ответ: Доказано