6. Докажите, что при любом нечётном значении n значение выражения (4п + 1)² (п + 4)² кратно 120.

Ответ: смотри решение.

Докажем, что выражение (4n + 1)² - (n + 4)² кратно 120 при любом нечетном n.

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[(4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = (16n^2 + 8n + 1) - (n^2 + 8n + 16) = 15n^2 - 15 = 15(n^2 - 1).\]

Поскольку n нечетное, его можно представить как n = 2k + 1, где k — целое число. Подставим это в выражение:

\[15((2k + 1)^2 - 1) = 15(4k^2 + 4k + 1 - 1) = 15(4k^2 + 4k) = 60(k^2 + k) = 60k(k + 1).\]

Так как k(k + 1) является произведением двух последовательных целых чисел, то одно из них обязательно четное. Следовательно, k(k + 1) делится на 2, и все выражение делится на 60 \cdot 2 = 120.

Таким образом, (4n + 1)² - (n + 4)² кратно 120 при любом нечетном n.

Ответ: смотри решение.