843. Докажите, что при любом нечётном значении п значение выражения (4n + 1)² - (n + 4)2 кратно 120.

• Раскрываем скобки: \((4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = 16n^2 + 8n + 1 - (n^2 + 8n + 16)\)
• Упрощаем: \(16n^2 + 8n + 1 - n^2 - 8n - 16 = 15n^2 - 15 = 15(n^2 - 1)\)
• Так как n - нечетное число, представим его как \(n = 2k + 1\), где k - целое число.
• Подставляем в выражение: \(15((2k + 1)^2 - 1) = 15(4k^2 + 4k + 1 - 1) = 15(4k^2 + 4k) = 60k(k + 1)\)
• Так как \(k(k + 1)\) - произведение двух последовательных целых чисел, то оно делится на 2.
• Значит, \(60k(k + 1)\) делится на \(60 \cdot 2 = 120\).
• Таким образом, выражение кратно 120.

Выражение кратно 120 при любом нечетном n.