844. Найдите какие-нибудь три натуральных значения переменной х т ких, чтобы выражение а² – 2х можно было разложить на множител по формуле разности квадратов. Полученные выражения разложи

Для того чтобы выражение \(a^2 - 2x\) можно было разложить на множители по формуле разности квадратов, необходимо, чтобы \(a^2 - 2x\) было полным квадратом некоторого числа, то есть чтобы выполнялось условие:

\[a^2 - 2x = b^2\]

где b - целое число.

Выразим x через a и b:

\[2x = a^2 - b^2\] \[x = \frac{a^2 - b^2}{2}\]

Так как x должно быть натуральным числом, то \(a^2 - b^2\) должно быть четным и положительным.

Подберем три подходящих значения:

• Пусть \(a = 3\) и \(b = 1\), тогда \(x = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Тогда \(a^2 - 2x = 3^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1 = 1^2\)
• Пусть \(a = 5\) и \(b = 3\), тогда \(x = \frac{5^2 - 3^2}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8\). Тогда \(a^2 - 2x = 5^2 - 2 \cdot 8 = 25 - 16 = 9 = 3^2\)
• Пусть \(a = 7\) и \(b = 5\), тогда \(x = \frac{7^2 - 5^2}{2} = \frac{49 - 25}{2} = \frac{24}{2} = 12\). Тогда \(a^2 - 2x = 7^2 - 2 \cdot 12 = 49 - 24 = 25 = 5^2\)

Для \(a=3\), \(x=4\): \(a^2 - 2x = 9 - 8 = 1 = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})\)

Для \(a=5\), \(x=8\): \(a^2 - 2x = 25 - 16 = 9 = (5-4)(5+4)\)

Для \(a=7\), \(x=12\): \(a^2 - 2x = 49 - 24 = 25 = (7-2\sqrt{6})(7+2\sqrt{6})\)