Докажите, что при любом значении p уравнение x² + px + p - 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Решение:

1. Условие существования корней квадратного уравнения:

   Квадратное уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$ имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $$D ≥ 0$$.

   В данном уравнении $$a=1$$, $$b=p$$, $$c=p-1$$.

2. Вычислим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4(1)(p-1) = p^2 - 4p + 4$$.

3. Проанализируем дискриминант:

   $$D = p^2 - 4p + 4$$. Это полный квадрат суммы $$p-2$$: $$D = (p-2)^2$$.

4. Сделаем вывод:

   Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $$D = (p-2)^2 ≥ 0$$ для любого значения $$p$$.

   Следовательно, дискриминант всегда неотрицателен, и квадратное уравнение $$x^2 + px + p - 1 = 0$$ имеет хотя бы один действительный корень при любом значении $$p$$.

Тождество доказано.