Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения $$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1}$$ является отрицательным числом.

Для доказательства сначала упростим выражение:

Разложим числитель второй дроби на множители:

$$2y^2 + 3y + 1 = (2y + 1)(y + 1)$$

Разложим знаменатель второй дроби на множители:

$$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$$

Тогда выражение примет вид:

$$y + \frac{(2y + 1)(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} - \frac{y^3 + 2y}{y - 1} = y + \frac{2y + 1}{y - 1} - \frac{y(y^2 + 2)}{y - 1} = \frac{y(y - 1) + 2y + 1 - y(y^2 + 2)}{y - 1}$$

Упростим числитель:

$$y(y - 1) + 2y + 1 - y(y^2 + 2) = y^2 - y + 2y + 1 - y^3 - 2y = -y^3 + y^2 - y + 1$$

Разложим числитель на множители:

$$-y^3 + y^2 - y + 1 = y^2(1 - y) + (1 - y) = (1 - y)(y^2 + 1)$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{(1 - y)(y^2 + 1)}{y - 1} = -\frac{(y - 1)(y^2 + 1)}{y - 1} = -(y^2 + 1)$$

Так как $$y^2 \ge 0$$ для любого y, то $$y^2 + 1 \ge 1 > 0$$, следовательно $$-(y^2 + 1) < 0$$ для любого y.

Выражение всегда является отрицательным числом.