Докажите тождество: $$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$$.

Для доказательства тождества раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть:

$$ (x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^3)^2 - 2x^3y^3 + (y^3)^2 + 2x^3y^3 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3 = x^6 + y^6 $$

Правая часть:

$$ (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2) = x^2(x^4 + y^4 - x^2y^2) + y^2(x^4 + y^4 - x^2y^2) = x^6 + x^2y^4 - x^4y^2 + x^4y^2 + y^6 - x^2y^4 = x^6 + y^6 $$

Так как левая и правая части равны, то тождество доказано.

Тождество доказано.