Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения: $$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^2 + 2y}{y - 1}$$ является отрицательным числом.

Докажем, что выражение $$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} - \frac{y^2 + 2y}{y - 1}$$ является отрицательным при любых допустимых значениях переменной.

Сначала упростим выражение. Заметим, что $$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$$. Тогда приведем все к общему знаменателю:

$$y + \frac{2y^2 + 3y + 1}{(y - 1)(y + 1)} - \frac{y^2 + 2y}{y - 1} = \frac{y(y - 1)(y + 1) + 2y^2 + 3y + 1 - (y^2 + 2y)(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = $$ $$\frac{y(y^2 - 1) + 2y^2 + 3y + 1 - (y^3 + y^2 + 2y^2 + 2y)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{y^3 - y + 2y^2 + 3y + 1 - y^3 - 3y^2 - 2y}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{-y^2 + 1}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{-(y^2 - 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{-(y - 1)(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = -1.$$

Выражение равно -1 при всех допустимых значениях y. Допустимые значения y - это те, при которых знаменатель не равен нулю, т.е. $$y
eq 1$$ и $$y
eq -1$$.

Таким образом, значение выражения всегда равно -1, что является отрицательным числом. Следовательно, утверждение доказано.