Докажите тождество: $$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2).$$

Докажем тождество: $$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2).$$

Раскроем скобки в левой части:

$$ (x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = (x^6 - 2x^3y^3 + y^6) + 2x^3y^3 = x^6 + y^6 $$.

Раскроем скобки в правой части:

$$(x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2) = x^2(x^4 + y^4 - x^2y^2) + y^2(x^4 + y^4 - x^2y^2) = x^6 + x^2y^4 - x^4y^2 + x^4y^2 + y^6 - x^2y^4 = x^6 + y^6$$.

Так как обе части равны $$x^6 + y^6$$, то тождество доказано.