Докажите, что при любых значениях переменной \(y\) выражение \(y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^3+2y}{y-1}\) является отрицательным числом.

Сначала определим область допустимых значений: знаменатели не равны нулю, поэтому \(y\ne-1\) и \(y\ne1\).

Разложим на множители и приведём слагаемые к общему знаменателю:

\[y+\frac{(2y+1)(y+1)}{(y-1)(y+1)}-\frac{y(y^2+2)}{y-1}=\frac{y(y-1)+(2y+1)-y(y^2+2)}{y-1}.\]

Числитель равен \(-y^3+y^2-y+1=-(y-1)(y^2+1)\). Следовательно, при допустимых значениях \(y\) всё выражение равно \(-(y^2+1)\).

Так как \(y^2+1>0\) для любого действительного \(y\), то \(-(y^2+1)<0\). Утверждение доказано.