5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство $$(x - y)(x + y) - (a - x + y)(a - x - y) - a(2x - a) = 0$$.

Докажем, что при любых значениях переменных верно равенство:

$$(x - y)(x + y) - (a - x + y)(a - x - y) - a(2x - a) = 0$$

Раскроем скобки. Сначала преобразуем $$(x - y)(x + y)$$ используя формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

$$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$$

Теперь преобразуем $$(a - x + y)(a - x - y)$$. Заметим, что это тоже разность квадратов, если сгруппировать члены: $$((a-x) + y)((a-x) - y) = (a-x)^2 - y^2 = a^2 - 2ax + x^2 - y^2$$

Далее раскроем скобки в $$a(2x - a) = 2ax - a^2$$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$$x^2 - y^2 - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - (2ax - a^2) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2 = 0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$(x^2 - x^2) + (-y^2 + y^2) + (-a^2 + a^2) + (2ax - 2ax) = 0$$ $$0 = 0$$

Так как мы получили верное равенство, то исходное уравнение верно при любых значениях переменных.