15. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: a) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.

a) Доказательство равенства соответственных углов: Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая c, пересекающая их. Обозначим углы, образованные при пересечении, как ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 на прямой a и ∠5, ∠6, ∠7, ∠8 на прямой b, где ∠1 и ∠5 - соответственные углы. 1. **Предположим противное**: Предположим, что ∠1 ≠ ∠5. 2. **Построение**: Через точку пересечения прямой b и секущей c проведем прямую b', такую, что ∠1 = ∠5', где ∠5' - соответственный угол для прямой b'. 3. **Параллельность**: Если ∠1 = ∠5', то прямая b' || a (по признаку равенства соответственных углов). 4. **Противоречие**: Получается, что через одну точку проходят две прямые (b и b'), параллельные прямой a. Это противоречит аксиоме параллельности (через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной). 5. **Вывод**: Следовательно, наше предположение неверно, и ∠1 = ∠5. Таким образом, соответственные углы равны. б) Доказательство, что сумма односторонних углов равна 180°: Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая c, пересекающая их. Обозначим углы, образованные при пересечении, как ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 на прямой a и ∠5, ∠6, ∠7, ∠8 на прямой b, где ∠4 и ∠5 - односторонние углы. 1. **Соответственные углы**: ∠1 = ∠5 (как соответственные углы при параллельных прямых). 2. **Смежные углы**: ∠1 + ∠4 = 180° (так как ∠1 и ∠4 - смежные углы). 3. **Вывод**: Заменим ∠1 на ∠5 в уравнении ∠1 + ∠4 = 180°, получим ∠5 + ∠4 = 180°. Таким образом, сумма односторонних углов равна 180°.