3. Докажите, что при всех допустимых значениях х значение выражения (1/x-3 - 27/x³-27 - 9/x²+3x+9) * (2x + 12x+18/x-3) не зависит от значения х.

Докажем, что значение выражения не зависит от x.

1) Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

Заметим, что $$x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$$, тогда

$$\frac{1}{x-3} - \frac{27}{x^3-27} - \frac{9}{x^2+3x+9} = \frac{1}{x-3} - \frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)} - \frac{9}{x^2+3x+9} = \frac{x^2+3x+9 - 27 - 9(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x^2+3x+9 - 27 - 9x + 27}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x^2 - 6x + 9}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x-3}{x^2+3x+9}$$

2) Преобразуем выражение во второй скобке:

$$2x + \frac{12x+18}{x-3} = \frac{2x(x-3) + 12x + 18}{x-3} = \frac{2x^2 - 6x + 12x + 18}{x-3} = \frac{2x^2 + 6x + 18}{x-3} = \frac{2(x^2 + 3x + 9)}{x-3}$$

3) Выполним умножение:

$$\frac{x-3}{x^2+3x+9} \cdot \frac{2(x^2 + 3x + 9)}{x-3} = 2$$

Таким образом, значение выражения равно 2 и не зависит от x.

Ответ: Значение выражения не зависит от х, что и требовалось доказать.