2. Докажите тождество: (1/(x-4)² + 2/x²-16 + 1/(x+4)²) : 8x³/(x²-16)² = 1/2x .

Приведём левую часть выражения к правой, выполняя действия поэтапно.

1) Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{x^2-16} + \frac{1}{(x+4)^2} = \frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{(x-4)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)^2} = \frac{(x+4)^2 + 2(x-4)(x+4) + (x-4)^2}{(x-4)^2(x+4)^2} = \frac{x^2+8x+16 + 2(x^2-16) + x^2-8x+16}{(x^2-16)^2} = \frac{4x^2}{(x^2-16)^2}$$

2) Выполним деление:

$$\frac{4x^2}{(x^2-16)^2} : \frac{8x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{4x^2}{(x^2-16)^2} \cdot \frac{(x^2-16)^2}{8x^3} = \frac{4x^2}{8x^3} = \frac{1}{2x}$$

Таким образом, левая часть выражения равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.