711. Докажите, что при всех целых n значение выражения: a) n(n-1) - (n + 3)(n+2) делится на 6; 6) n(n+2) - (n -7) (п - 5) делится на 7.

a) Докажем, что при всех целых n выражение n(n-1) - (n + 3)(n+2) делится на 6.

Раскроем скобки:

$$n(n - 1) - (n + 3)(n + 2) = n^2 - n - (n^2 + 2n + 3n + 6)$$

$$= n^2 - n - n^2 - 5n - 6$$

$$= (n^2 - n^2) + (-n - 5n) - 6$$

$$= -6n - 6$$

$$= -6(n + 1)$$

Выражение -6(n + 1) всегда делится на 6, так как оно содержит множитель -6.

б) Докажем, что при всех целых n выражение n(n+2) - (n -7)(n - 5) делится на 7.

Раскроем скобки:

$$n(n + 2) - (n - 7)(n - 5) = n^2 + 2n - (n^2 - 5n - 7n + 35)$$

$$= n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35$$

$$= (n^2 - n^2) + (2n + 12n) - 35$$

$$= 14n - 35$$

$$= 7(2n - 5)$$

Выражение 7(2n - 5) всегда делится на 7, так как оно содержит множитель 7.

Ответ: а) -6(n+1); б) 7(2n-5)