Докажите, что разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится на 8.

Пусть первое чётное число равно $$2n$$, тогда следующее чётное число равно $$2n + 2$$. Разность их квадратов равна: $$(2n + 2)^2 - (2n)^2 = (4n^2 + 8n + 4) - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1)$$ Заметим, что выражение $$2n + 1$$ является нечетным числом. Но само выражение $$8n + 4$$ не всегда делится на 8. Например, если $$n = 1$$, то $$8n + 4 = 12$$, что не делится на 8. Однако, если условие немного изменить, то можно доказать делимость на 8. Например, доказать что разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4 - это доказать можно, как это показано выше: $$4(2n+1)$$. А если доказывать, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8, то это можно доказать так: Пусть первое нечётное число равно $$2n + 1$$, тогда следующее нечётное число равно $$2n + 3$$. Разность их квадратов равна: $$(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1) = 8n + 8 = 8(n + 1)$$ Так как $$8(n + 1)$$ делится на 8, то разность квадратов двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 8. Это и требовалось доказать.