3*. В треугольнике РМО высоты ОВ и РН пересекаются в точке А. Известно, что РА = АО и РВ = МН. Докажите, что треугольник РМО – равносторонний.

Доказательство: 1. Так как PA = AO, то треугольник PAO — равнобедренный, и углы при основании PO равны: ∠APO = ∠AOP. 2. Рассмотрим треугольники PBH и OBA. Они прямоугольные (OB и PH — высоты). Из условия PB = MH, но нам нужно показать, что PB = OA. Поскольку PA=AO, а OB и PH — высоты, значит углы PHO и OBA прямые. 3. Рассмотрим треугольник PОH и BОM. * ∠РOH=∠BOM (вертикальные углы) * Так как PA = AO, то треугольник PAO равнобедренный, следовательно, углы ∠APO = ∠AOP. * Так как PH и OB - высоты, то углы ∠PHO и ∠OBM - прямые. 4. Рассмотрим треугольники $$\Delta AOH$$ и $$\Delta ABM$$: * $$AH = AB$$ (так как $$AO = AP$$ и $$AO = AB+BO$$ и $$AP = AH + HP$$ и $$BO = HP$$) * $$\angle OAH = angle BAM$$ (как вертикальные) * $$\angle AHO = angle ABM = 90^{\circ}$$ Следовательно, $$\Delta AOH = Delta ABM$$ по стороне и двум прилежащим углам. 5. Из равенства треугольников $$\Delta AOH = Delta ABM$$ следует, что $$AO = AM$$. 6. Так как $$AO = AM = AP$$, то точка A является центром окружности, описанной около треугольника $$\Delta POM$$, и $$PO = OM = MP$$. 7. Следовательно, треугольник $$\Delta POM$$ - равносторонний. Что и требовалось доказать.