5. Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны.

Пусть дан четырёхугольник ABCD, описанный около окружности. Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках K, L, M и N соответственно.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Следовательно:

• AK = AN
• BK = BL
• CL = CM
• DM = DN

Тогда:

AB + CD = (AK + BK) + (CM + DM) = (AN + BL) + (CL + DN) = (AN + DN) + (BL + CL) = AD + BC

Следовательно, AB + CD = AD + BC, что и требовалось доказать.