1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, если катет в 2 раза меньше гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°, и катет BC равен половине гипотенузы AB. Нужно доказать, что угол A равен 30°.

Возьмём на гипотенузе AB точку D так, чтобы BC = BD. Тогда треугольник BCD – равнобедренный, и углы BCD и BDC равны.

Проведём отрезок CD. Рассмотрим треугольники ABC и DBC. У них BC – общая сторона, AB = 2BC и BD = BC, следовательно, AD = BD = BC. Тогда треугольник ACD – равнобедренный с основанием CD, и углы CAD и ACD равны.

Пусть угол CAD = x. Тогда и угол ACD = x.

Так как BC = BD, то треугольник BCD – равнобедренный, и углы BCD и BDC равны. Угол BDC является внешним углом для треугольника ACD, поэтому он равен сумме углов CAD и ACD, то есть x + x = 2x. Следовательно, угол BCD тоже равен 2x.

Тогда угол ACB, который равен 90°, состоит из углов ACD и BCD, то есть x + 2x = 90°.

Отсюда 3x = 90°, следовательно, x = 30°.

Таким образом, угол A = x = 30°.