Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые соответственно к равным сторонам, равны.

Рассмотрим равные треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), где вершины записаны в соответствии. Пусть \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, проведённые к соответствующим равным сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\).

1. Из равенства треугольников следует, что \(AB=A_1B_1\) и \(\angle BAC=\angle B_1A_1C_1\).
2. Поскольку \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, \(\angle BAD=\angle B_1A_1D_1\): каждый из этих углов равен половине соответствующего равного угла.
3. Точки \(D\) и \(D_1\) лежат соответственно на \(BC\) и \(B_1C_1\), поэтому \(\angle ABD=\angle A_1B_1D_1\).
4. Значит, \(\triangle ABD=\triangle A_1B_1D_1\) по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда \(AD=A_1D_1\). Тот же довод применим к биссектрисам, проведённым к любой другой паре соответствующих равных сторон.

Следовательно, соответствующие биссектрисы равных треугольников равны.