300. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

Рассмотрим тупоугольный треугольник ABC, где угол B – тупой. Проведём высоту BH из вершины B к стороне AC. Так как угол B тупой, то проекция точки B на прямую AC будет лежать между точками A и C. Следовательно, основание высоты H лежит на стороне AC. Теперь проведём высоты из вершин A и C. Пусть AL – высота, проведённая из вершины A к стороне BC, а CK – высота, проведённая из вершины C к стороне AB. Так как угол B тупой, то угол A и угол C – острые. Чтобы высота AL попала на прямую BC, её основание L должно лежать на продолжении стороны BC за точку C. Аналогично, чтобы высота CK попала на прямую AB, её основание K должно лежать на продолжении стороны AB за точку A. Это можно доказать, рассмотрев прямоугольные треугольники, образованные высотами. Например, в прямоугольном треугольнике ABL угол A – острый, а значит, угол ALB – прямой. Чтобы точка L лежала на стороне BC, угол ABC должен быть прямым или острым, что противоречит условию, что угол B тупой. Таким образом, в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, лежат на продолжениях сторон.