298. На рисунке 145 AD || BE, AC = AD и BC = BE. Докажите, что угол DCE — прямой.

Так как AD || BE, то \(\angle DAC = \angle CEB\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BE и секущей AE). Так как AC = AD, то \(\triangle ADC\) – равнобедренный, и \(\angle ADC = \angle ACD\). Так как BC = BE, то \(\triangle BCE\) – равнобедренный, и \(\angle BCE = \angle BEC\). Пусть \(\angle DAC = \alpha\). Тогда \(\angle CEB = \alpha\). В \(\triangle ADC\): \(\angle DAC = \alpha\), следовательно \(\angle ADC = \angle ACD = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). В \(\triangle BCE\): \(\angle CEB = \alpha\), следовательно \(\angle BCE = \angle BEC = rac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). Теперь рассмотрим \(\angle DCE\). Мы знаем, что \(\angle ACD + \angle DCE + \angle BCE = 180^\circ\) (так как это развернутый угол). Подставим известные значения: \(90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \angle DCE + 90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ\) \(180^\circ - \alpha + \angle DCE = 180^\circ\) \(\angle DCE = \alpha\) Рассмотрим четырехугольник ADBE. Сумма его углов равна 360 градусам. \(\angle DAE + \angle DBE + \angle BEA + \angle ADB = 360^\circ\). \(\angle DAE = \alpha\) по условию. Так как AD || BE, то углы DAE и AEB - внутренние односторонние, а значит, их сумма 180 градусов. Аналогично, углы ADB и DBE также в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, четырехугольник ADBE - трапеция. По условию AD=AC и BE = BC. Пусть \(\angle DAC = \angle CEB = x\). Тогда \(\angle ADC = \angle ACD = (180-x)/2\) и \(\angle BEC = \angle BCE = (180-x)/2\). Значит, \(\angle ACD + \angle BCE + \angle DCE = 180\), или \((180-x)/2 + (180-x)/2 + \angle DCE = 180\), откуда \(180-x + \angle DCE = 180\), значит, \(\angle DCE = x\). Т.к. AD || BE, то \(\angle CAB + \angle EBA = 180\). \(\angle CAB = \alpha\). Т.к. AC = AD и BE=BC, то углы ADC и ACB равны, и углы BEC и BCE равны. Пусть \(\angle ACB = y\) и \(\angle BCE = z\). Тогда \(\angle ADC = y\) и \(\angle BEC = z\). Значит, \(\angle BAC = 180 - 2y\) и \(\angle EBC = 180 - 2z\). Подставляем в уравнение: \(180-2y + 180 - 2z = 180\), откуда \(180 = 2y+2z\) и \(90=y+z\). Т.к. \(\angle ACB + \angle BCE + \angle DCE = 180\), то \(y + z + \angle DCE = 180\), или \(90 + \angle DCE = 180\). Значит, \(\angle DCE = 90^\circ\). Таким образом, угол DCE — прямой.