4. Докажите, что верно равенство $$(p+x)(p-x) - (p-x+c)(p+x-c) - c(c-2x) = 0$$.

Преобразуем левую часть выражения, используя формулу разности квадратов и раскрывая скобки: $$(p+x)(p-x) - (p-x+c)(p+x-c) - c(c-2x) = p^2 - x^2 - (p^2 - cx + px + cx - c^2 + xc - pc - xc + c^2) - (c^2 - 2cx) = p^2 - x^2 - (p^2 + px - pc - pc + xc - xc + cx - cx - c^2 - c^2) - c^2 + 2cx = p^2 - x^2 - (p^2 - (p-x+c)(p+x-c) - c(c-2x) = p^2 - x^2 - (p^2 + px - pc - px - x^2 + xc + pc + xc - c^2) - c^2 + 2cx = p^2 - x^2 - p^2 + x^2 - c^2 + 2cx - c^2 + 2cx = p^2 - x^2 - (p^2 - x^2 +2xc - c^2) - c^2 + 2cx = p^2 - x^2 - p^2 + x^2 - 2cx + c^2 - c^2 + 2cx = 0$$ Следовательно, равенство верно. Что и требовалось доказать.