Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны равны.

Доказательство:

• Пусть дан четырёхугольник ABCD, у которого противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
• Проведём диагональ AC.
• Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
• AB = CD (по условию)
• BC = AD (по условию)
• AC = CA (общая сторона)
• По трём сторонам (по третьему признаку равенства треугольников), треугольник ABC равен треугольнику CDA.
• Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны. В частности, угол BAC = Угол DCA.
• Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.
• Аналогично, из равенства треугольников следует, что угол BCA = Угол DAC.
• Эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые BC и AD параллельны.
• Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны.
• Свойство, что противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, является определением параллелограмма.

Вывод: Если противоположные стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.