Докажите, что выражение (2 − b²)/(b − 3)⁴ − (7 − 5b)/(b − 3)⁴ − (4 − b)/(b − 3)⁴ при всех b ≠ 3 принимает отрицательные значения.

Приведём числители дробей к одному знаменателю:

\[\frac{2-b^2}{(b-3)^4}-\frac{7-5b}{(b-3)^4}-\frac{4-b}{(b-3)^4}=\frac{2-b^2-(7-5b)-(4-b)}{(b-3)^4}.\]

Упростим числитель:

\[2-b^2-7+5b-4+b=-b^2+6b-9=-(b-3)^2.\]

Поскольку \(b\ne3\), можно сократить на \((b-3)^2\):

\[\frac{-(b-3)^2}{(b-3)^4}=-\frac{1}{(b-3)^2}.\]

При \(b\ne3\) квадрат \((b-3)^2\) положителен, поэтому \(-\frac{1}{(b-3)^2}<0\). Следовательно, выражение всегда принимает отрицательные значения.