7. Докажите, что выражение х²-18х + 84 принимает положительные значения при всех значениях х.

Решение: Рассмотрим выражение \(x^2 - 18x + 84\). Выделим полный квадрат: \(x^2 - 18x + 84 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 - 9^2 + 84 = (x - 9)^2 - 81 + 84 = (x - 9)^2 + 3\) Так как \((x - 9)^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), то \((x - 9)^2 + 3\) всегда больше или равно 3, то есть всегда положительно. Следовательно, выражение \(x^2 - 18x + 84\) принимает положительные значения при всех значениях \(x\). Доказано.